Diễn đàn kiến thức
CHÀO MỪNG BẠN ĐẾN VỚI DIỄN ĐÀN KIẾN THỨC
----------------------------------------------------------

- Mời bạn đăng nhập (Bạn đã đăng ký)
- Mời bạn đăng ký (Bạn chưa đăng ký)

Hỗ trợ diễn đàn trực tuyến:
------------------------------
Yahoo: prince_digan
Email: prince_digan@yahoo.com

Cảm ơn bạn đã ghé thăm diễn đàn học tập , Chúc bạn có những giây phút thư giản và có nhiều điều thú vị khi tham gia diễn đàn.
Diễn đàn kiến thức

Nơi hội tụ nhân tài
 
Trang ChínhportalCalendarGalleryTrợ giúpTìm kiếmNhómĐăng kýĐăng Nhập
451 Số bài - 69%
 
Ken (451)
45 Số bài - 7%
 
123456789 (45)
37 Số bài - 6%
 
Ħüγêņ♥¶ŗąŋĢ♥ (37)
29 Số bài - 4%
 
tiengviet (29)
27 Số bài - 4%
 
Trạng_Lượng (27)
19 Số bài - 3%
 
boy_kute (19)
14 Số bài - 2%
 
phuongnho6768 (14)
14 Số bài - 2%
 
sunfire (14)
13 Số bài - 2%
 
tuquynh (13)
7 Số bài - 1%
 
boy_lazy (7)

Các bài gửi mới nhấtNgười gửi cuối

Share|

Ứng dụng đạo hàm......

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Go down
Sat Feb 20, 2010 11:38 am

avatar
Cười mới là người

Lập trình viên

Ken

Lập trình viên

Xem lý lịch thành viên http://study.5forum.net
Giới tính Nam
Gemini
Pig
Bài gửi : 451
Điểm kinh nghiệm : 2424
Cảm ơn : 9
Sinh nhật : 20/06/1995
Join date : 10/01/2010
Tuổi : 23
Đến từ : Đăk lăk
Sở thích : Đi bộ ngao du
Hài hước : Cười mới là người
Huy chương :

Bài gửiTiêu đề: Ứng dụng đạo hàm......

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ


Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D

Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

1) Lập bảng biến thiên của hàm số .

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số .

Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên , thì phương trình : có nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1)

2) [img][You must be registered and logged in to see this link.]

Giải:

1)Xét hàm số có tập xác định là .

Ta có:





[img][You must be registered and logged in to see this link.] \left( x+\frac{1}{2}\right) ^2\left[ \left( x-\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{4}\right]=\left( x-\frac{1}{2}\right) ^2\left[ \left(x+\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{4}\right]\Leftrightarrow x=0[/img]

thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm không đổi dấu trên , mà đồng biến.

Mặt khác:

.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi .

2) ĐK:

Xét hàm số [img][You must be registered and logged in to see this link.] với [img][You must be registered and logged in to see this link.] D=[0;+\infty )[/img]

Ta có:

[img][You must be registered and logged in to see this link.]

[img][You must be registered and logged in to see this link.] f^{'}(x)=0\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt[4]{(x^2+1)^3}\Leftrightarrow x^6=(x^2+1)^3\Leftrightarrow x^2=x^2+1[/img] vô nghiệm

không đổi dấu trên ,
mà [img][You must be registered and logged in to see this link.] f'(x)0\foral x\in D[/img]

Mặt khác:

[img][You must be registered and logged in to see this link.] +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{(x^2+1)^3}+\sqrt[4]{x^2(x^2+1)^2}+\sqrt[4]{x^4(x^2+1)}+\sqrt[4]{x^6}}=0[/img]

phương trình có nghiệm .

Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) [img][You must be registered and logged in to see this link.]

2) .

Giải:

1) Phương trình

[img][You must be registered and logged in to see this link.] \sqrt[4]{x^4-13x+m}=1-x\Leftrightarrow \left{ x\le 1 \\ x^4-13x+m=(1-x)^2[/img]



Xét hàm số với

Ta có:

[img][You must be registered and logged in to see this link.] f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x=\frac{3}{2} \\ x=-\frac{1}{2}[/img].

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm .

2) Điều kiện: .

Khi đó phương trình
(Vì )

Xét hàm số với .

Ta có:

.
Do [img][You must be registered and logged in to see this link.] \frac{1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}0\foral x\in [0;4)[/img] .

Vậy là hàm đồng biến trên [img][You must be registered and logged in to see this link.]



Suy ra phương trình có nghiệm

Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.

Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:



Giải:

Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này

Ta có:

.

Hệ có nghiệm có nghiệm [img][You must be registered and logged in to see this link.] [1;4][/img].

.

Xét với [img][You must be registered and logged in to see this link.] [1;4][/img]
có [img][You must be registered and logged in to see this link.] (x^2+16)}{2x^3}\le 0\foral x\in [1;4][/img].

[img][You must be registered and logged in to see this link.] 8=f(4)\le f(x)\le f(1)=19\foral x\in [1;4][/img]

Vậy hệ có nghiệm .

Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:



Giải:

Ta có:

.

* Nếu vô nghiệm.

* Nếu đúng có nghiệm

Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm

Ta có: . Xét hàm số với ,

có:

.
Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm .

Ví dụ 5: Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm:

.

Giải:

Ta thấy là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết trước.

Ta có:

.

Thay vào ta được:

.

Hệ có nghiệm có nghiệm .

Xét hàm số với

đồng biến trên các khoảng



Suy ra hệ có nghiệm .

Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số . Do đó phương trình có nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại giao điểm.

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

[img][You must be registered and logged in to see this link.]

Giải:

Đặt

[img][You must be registered and logged in to see this link.] t\ge 0[/img].

Ta có phương trình :

[img][You must be registered and logged in to see this link.] \sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m}=2[/img]

.

Xét hàm số

[img][You must be registered and logged in to see this link.] f'(x)=4(x^3-3x^2+4)=4(x-2)^2(x+1)\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x=-1 \\ x=2[/img].

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 7: Tìm để phương trình :

có ba nghiệm phân biệt.

Giải:

Phương trình:

(do )

Xét hàm số:



.

Dựa vào bảng biến thiên .
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:

có đúng một nghiệm .

Giải:

Ta thấy để pt có nghiệm thì . Khi đó:

Phương trình đã cho

.

Xét hàm số :

với

Ta có:

với nghịch biến.

Mà:







Vậy phương trình có đúng một nghiệm

.

Ví dụ 9: Tìm để hệ phương trình :

có ba cặp nghiệm phân biệt .

Giải:

Ta có :

(do không là nghiệm phương trình ).

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

.

Hệ có ba cặp nghiệm có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Xét hàm số:

với .

.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có ba nghiệm phân biệt

[img][You must be registered and logged in to see this link.] \left[ \frac{11}{3}\le m-3\le 9 \\ -7\le m-3\le -\frac{27}{4}\Leftrightarrow \left[ \frac{20}{3}\le m\le 12 \\ -4\le m\le -\frac{15}{3}[/img] .

Vậy là những giá trị cần tìm.

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:

* Khi đặt , ta tìm được và phương trình (1) trở thành (2). Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm .

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm ).

* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị thì phương trình có bao nhiêu nghiệm ?.

Ví dụ 10: Tìm để các phương trình sau có nghiệm.

1) .

2) .

3) [img][You must be registered and logged in to see this link.]

Giải:

1) Điều kiện: .

Phương trình



Đặt



Ta có phương trình :
.

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm [img][You must be registered and logged in to see this link.] 0;\frac{9}{2}\right][/img]

Xét hàm số:

với [img][You must be registered and logged in to see this link.] 0;\frac{9}{2}\right][/img],

.

Vậy phương trình có nghiệm .

2) Điều kiện:

Đặt



Phương trình đã cho trở thành:

.

Xét hàm số



.

Dựa vào bảng biến thiên của [img][You must be registered and logged in to see this link.] t\in [3;3\sqrt{2}][/img]

Suy ra có nghiệm có nghiệm [img][You must be registered and logged in to see this link.] [3;3\sqrt{2}][/img].

Xét hàm số với , có [img][You must be registered and logged in to see this link.] t\in [3;3\sqrt{2}][/img]

Suy ra là hàm đồng biến trên [img][You must be registered and logged in to see this link.]
[img][You must be registered and logged in to see this link.] 3=f(3)\le f(t)\le f(3\sqrt{2})=18-6\sqrt{2}\foral t\in [3;3\sqrt{2}][/img]

Vậy phương trình có nghiệm .

3) Điều kiện : .

Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho [img][You must be registered and logged in to see this link.] ta được:

[img][You must be registered and logged in to see this link.] \sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}+2\right)-\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}=2\qquad (*)[/img].

Đặt

[img][You must be registered and logged in to see this link.] t^4(x-2)=x+2\Rightarrow x=\frac{(t^4+1)}{t^4-1}2[/img]



Khi đó ( * ) trở thành:

.

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm .

Xét hàm số

f(t) với , có:

.

.

Vậy phương trình có nghiệm .

Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của . Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn:

Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t :

.

Ở câu 3) để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:

[img][You must be registered and logged in to see this link.].

Ví dụ 11: Tìm để các phương trình

1) có nghiệm .

2) có nghiệm trên [img][You must be registered and logged in to see this link.]

Giải:

1) Đặt

.

Phương trình đã cho trở thành:

( vì ).

Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm t thỏa mãn .

Xét hàm số

với ,

ta có:



Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm

.

2) Đặt

.

Với .

Phương trình đã cho trở thành:



Phương trình đã cho có nghiệm trên [img][You must be registered and logged in to see this link.] (2)[/img] có nghiệm

Xét hàm số

với , ta thấy là hàm đồng biến trên [img][You must be registered and logged in to see this link.]

Suy ra [img][You must be registered and logged in to see this link.] f(t)\lef(2)=5\foral t\in [1;2][/img].

Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt



Giải:

Điều kiện : .

(Do ).

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt .

Đặt



và (2) trở thành



Từ cách đặt ta có:

Với mỗi giá trị thì cho ta đúng một giá trị . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt .

Xét hàm số

với

Suy ra có 2 nghiệm phân biệt

Ứng dụng đạo hàm......

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Về Đầu Trang
Trang 1 trong tổng số 1 trang

Quyền hành của bạn
Bạn không có quyền trả lời bài viết
BB code đang Mở
Hình vui đang Mở
HTML đang mở
Diễn đàn kiến thức :: Mảng tự nhiên :: Kiến thức toán học :: Hàm số-
Free forum | © phpBB | Free forum support | Liên hệ | Report an abuse | Free blog